Проблемы математической физики, выросшие из первых работ по теории потенциала, приобрели, как мы видим, к концу XIX в. большую общность. Решение столь общих теоретических проблем, а затем бурное развитие методов численного решения краевых задач (ставшее возможным в связи с появлением вычислительных электронных устройств), целиком относятся к следующему, XX в. Равным образом к этому более позднему времени относится эффективная разработка важной и трудной обратной задачи теории потенциала: по распределению значений потенциала в силовом поле определить форму и плотность притягивающих масс задача, актуальность которой (например, для электротехники и геофизики) очевидна.
Как и его предшественники, Ляпунов был вынужден использовать ряд ограничительных требований. Среди этих требований основным является выполнимость принципа Неймана. Ограничение выделяет также класс поверхностей, относительно которых рассмотрены указанные выше вопросы; за этими поверхностями сохранилось название поверхностей Ляпунова.
Большое значение в истории теории потенциала имеют исследования русского академика А. М. Ляпунова, выполненные в конце XIX начале XX в. В них изучены: зависимость свойств потенциалов от равномерно распределенных по поверхности зарядов и диполей, потенциал двойного слоя в случае диполей, поведение производных решения задачи Дирихле при приближении к поверхности, на которой задано граничное условие. Решение задачи Дирихле Ляпунов выразил в виде интеграла по поверхности от произведения функции, входящей в граничное условие, на нормальную производную функции Грина.
Для решения краевых задач теории гармонических функций были разработаны методы, имеющие как практическое, так и большое теоретическое значение. Например, для решения задачи Дирихле Г. А. Шварц и К. Нейман изобрели около 1870 г. альтернирующий метод, Пуанкаре метод выметаний, Фредгольм метод фундаментальных решений, связанный с интегральными уравнениями, Перрон метод верхних и нижних функций. Следует еще упомянуть метод сеток как основной метод при приближенном решении краевых задач. Эти методы давали возможность освободиться-от того или другого ограничения, которое приходилось налагать на границу области. Но при сколько-нибудь общей постановке краевой задачи возникали проблемы условий существования решений и их устойчивости.
Гармонические функции получили применение в широком классе краевых задач. Такова задача Дирихле об отыскании значений гармонической функции в области по ее значениям на границе (например, определение температуры внутри тела по температуре на его поверхности, определение формы мембраны по виду контура). К этого рода задачам относится также задача Неймана, в которой гармоническая функция должна быть разыскана по величине нормальной производной на границе области (нахождение температуры внутри тела по заданному на поверхности температурному градиенту, определение потенциала движения обтекающей твердое тело несжимаемой жидкости из условия, что нормальные составляющие скоростей частиц, прилегающих к поверхности тела, совпадают с заданными нормальными составляющими скоростей точек поверхности тела).
Оказалось, что гармонические функции могут служить для описания многих физических и механических проблем, отличительной особенностью которых является исследование разнородных состояний, зависящих от положения элементов, а не от времени. Так, например, гармоническими функциями оказались помимо потенциалов в полях притяжения и в электрических полях потенциал скоростей установившегося безвихревого движения несжимаемой жидкости, температура тел при установившемся распределении тепла, величина прогиба мембраны, натянутой на произвольный неплоский контур и др. Математический аппарат исследования гармонических функций, возникший при решении одной задачи или одного класса задач, получал постепенно новые приложения.
Иным было положение этого важного понятия в математике. Его введение облегчило расширение области приложений математического анализа. Помимо оптики и колебаний теперь возникала математическая теория электромагнитных явлений. Постановка задачи о потенциале побуждала к расширению понятия интеграла, к распространению интегрирования на сложные объекты. В анализе была начата разработка гармонических функций как решений дифференциального уравнения Лапласа: Δv = 0.
В истории физики отмечается, что понятию потенциала физики долго не придавали какого-либо принципиального значения, рассматривая потенциал, или потенциальную функцию, лишь как удобное математическое понятие. Его физический смысл был раскрыт позже, после установления понятий: работы, энергии и закона сохранения энергии.
Через 11 лет после Остроградского, Гаусс использовал эту формулу для того, чтобы связать величину потока напряженности сил заданного потенциального поля с общей массой или зарядом, помещенным внутри поверхности. В наше время этой формуле присвоено название Гаусса-Остроградского (что, очевидным образом, несправедливо).
Эту теорему М. В. Остроградский доказал еще в 1828 г. и истолковал ее как формулу гидродинамического баланса, устанавливающую равносильность учета протекающей жидкости в единицу времени: а) исходя из учета источников внутри объема; б) исходя из скоростей протекания через оболочку.
В несколько более общей форме и, по-видимому, независимо от Грина построил общую теорию потенциала Гаусс. Он сделал это в работе «Общие теоремы относительно сил притяжения и отталкивания ... действующих обратно пропорционально квадрату расстояния». Функцию v = ∑m/r, где т могут представлять как обычные массы, так и электрические или магнитные заряды, Гаусс назвал потенциалом. Он систематически исследовал свойства потенциальной функции и ее применение к физическим явлениям. Небезынтересно отметить появление в этой работе теоремы
(теперь пишут: E = 4πρ, где Е напряженность поля). Наконец, Грин ввел так называемую функцию Грина, интерпретирующуюся как потенциал внутри замкнутой заземленной проводящей поверхности, если туда помещен единичный заряд.
где в скобках помещены нормальные производные потенциала на противоположных сторонах поверхности. Если речь идет о проводнике, поле внутри которого, а следовательно и нормальная производная, отсутствует, то
Выражение поверхностной плотности ρ по Грину будет
Грин изложил свою теорию в сочинении «Исследование по математической теории электричества и магнетизма». Здесь он исследовал центральную проблему электростатики того времени: задачу о распределении электричества на поверхности проводника, которое индуцируется воздействием внешних электрических сил. В основе рассуждений Грина лежало соображение, что электрические и магнитные силы могут быть определены через функцию координат, такую, что составляющие этих сил по осям суть ее частные соответствующие производные, взятые с обратным знаком. Потенциальная функция определяется распределением зарядов. Грин вывел далее интегральную теорему, известную ныне как формула Грина, показал, что значение потенциала внутри или вне любой поверхности выражается через значение потенциальной функции и ее нормальной производной на этой поверхности.
Пуассон решил много задач магнетостатики. При этом он фактически опирался на понятие потенциала. Однако ввел это важное понятие не он. Общая постановка теории потенциала появилась в трудах двух ученых: Грина и Гаусса.
Математическая теория электрического потенциала сформировалась сравнительно быстро. Ряд задач о распределении электричества на поверхности проводников решил Пуассон, вообще основательно разработавший многие отделы современной ему математической физики: капиллярность, изгибание пластинок, электростатическую магнетостатику, теплопроводность. Около 1813 г. он распространил уравнение Лапласа на пространство, заключенное внутри притягивающего тела, и вывел широко известное теперь уравнение
Теория потенциала и теория теплопроводности Ж.-Б. Фурье и теория уравнений математической физики.
Математика XIX века. Теория уравнений с частными производными.
Математика XIX века
Комментариев нет:
Отправить комментарий